Ya sea que esté tomando el tiempo para comprobar qué tan rápido puede llenar su cafetera o simplemente contando sus pasos hasta la parada del autobús por la mañana, hay algo en la monotonía de la vida cotidiana que nos hace intentar convertirlo en un juego. Los habitantes de la ciudad prusiana de Konigsberg del siglo XVIII (ahora, como saben, esto es Kaliningrado) eran los mismos que todos nosotros. Fue solo el juego que jugaron con siete puentes en su ciudad lo que un día despertó el interés de uno de los más grandes matemáticos de la historia de la humanidad.
Konigsberg se construyó a orillas del río Pregel (Pregolya), que dividía la ciudad en cuatro áreas residenciales separadas. La gente se trasladó de una zona a otra a través de siete puentes diferentes. Según la leyenda, un pasatiempo popular durante las caminatas dominicales era intentar cruzar toda la ciudad para cruzar cada puente una sola vez. Nadie ha descubierto cómo hacer esto, pero esto no significa que el problema no tenga solución. Solo tenían que acudir al experto adecuado para conocerlo.
En 1735, el alcalde de la ciudad de Danzig (ahora la polaca Gdansk), ubicada a 120 kilómetros al oeste de Konigsberg, Karl Leonard Gottlieb Ehler, escribió a Leonard Euler con una carta en la que pedía ayuda para resolver este problema en nombre de un profesor local de matemáticas llamado Heinrich. Kuehn. Incluso entonces, Euler era un matemático famoso y de gran éxito: publicó su primer libro un año después de esta carta, y en toda su vida escribió más de 500 libros y artículos.
Por tanto, no es de extrañar que al principio Euler pensara que estaba por debajo de su dignidad lidiar con este problema, y escribiera en respuesta: “Entonces, vea, estimado señor, este tipo de solución no tiene prácticamente nada que ver con las matemáticas, y no entiendo por qué está lidiando con tal una solicitud a un matemático y no a otra persona, ya que la decisión se basa únicamente en el sentido común y no depende de ninguno de los principios matemáticos conocidos.
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Sin embargo, al final, Ehler y Kühn lograron convencer a Euler, y él se dio cuenta de que se trataba de un tipo de matemáticas completamente nuevo: la "geometría de posiciones", hoy conocida como topología. En topología, la forma o ubicación exacta de un objeto no importa. Incluso hay una vieja broma de que un topólogo no puede diferenciar entre una dona y una taza de café, ya que ambos elementos tienen exactamente un agujero. Hasta entonces, solo se había escrito sobre esta área completamente nueva de las matemáticas, pero nadie entendía todavía qué problemas podía resolver. Los siete puentes de Konigsberg fueron una excelente confirmación experimental de la nueva teoría, ya que el problema no requería mediciones ni cálculos precisos. Puede convertir un mapa complejo de la ciudad en un gráfico (diagrama) simple y comprensible sin perder información importante.
Si bien uno podría sentirse tentado a resolver este problema trazando todas las rutas posibles a través de la ciudad, Euler se dio cuenta de inmediato de que esta estrategia tomaría demasiado tiempo y no funcionaría con otros problemas similares (¿y si hubiera, digamos, doce puentes?). En cambio, decidió tomar un descanso de los puentes por un tiempo y marcó el terreno con las letras A, B, C y D. Por lo tanto, ahora podía describir el viaje a través del puente desde el área A al área B como AB, y el viaje desde el área A a través del área B. D como ABD. Es importante señalar aquí que el número de letras en la descripción de la ruta siempre será uno más que el número de puentes cruzados. Así, la ruta AB cruza un puente y la ruta ABD cruza dos puentes, y así sucesivamente. Euler se dio cuenta de que, dado que hay siete puentes en Konigsberg, para cruzarlos todos,la ruta debe constar de ocho letras, lo que significa que la solución del problema requerirá exactamente ocho letras.
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Luego se le ocurrió una regla más general utilizando un esquema aún más simplificado. Si solo tuviera dos secciones terrestres, A y B, y cruzara el puente una vez, entonces la sección A podría ser donde comenzó el viaje o donde terminó, pero estaría en la sección A solo una vez. Si cruzara los puentes a, byc una vez, estaría en la sección A exactamente dos veces. Esto llevó a una regla útil: si tiene un número par de puentes que conducen a un terreno, debe agregar uno a ese número y luego dividir el total por dos para calcular cuántas veces se debe usar esa sección durante su viaje. (en este ejemplo, sumando uno al número de puentes, es decir, a 3, obtenemos cuatro, y dividiendo cuatro por dos obtenemos dos,es decir, es exactamente dos veces durante el viaje que se cruza el tramo A).
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Este resultado devolvió a Euler a su problema original. Hay cinco puentes que conducen a la Sección A, por lo que la solución de ocho letras que está buscando tendrá que cruzar tres veces. Las secciones B, C y D tienen dos puentes que conducen a ellas, por lo que cada una debe cruzarse dos veces. Pero 3 + 2 + 2 + 2 es 9, no 8, aunque de acuerdo con la condición solo debes atravesar 8 tramos y cruzar 7 puentes. Esto significa que es imposible atravesar toda la ciudad de Königsberg utilizando cada puente exactamente una vez. En otras palabras, en este caso el problema no tiene solución.
Sin embargo, como cualquier verdadero matemático, Euler no se detuvo allí. Continuó trabajando y creó una regla más general para otras ciudades con un número diferente de puentes. Si la ciudad tiene un número impar de puentes, entonces hay una forma sencilla de averiguar si puede hacer ese viaje o no: si la suma del número de ocurrencias de cada letra que denota un terreno es uno más que el número de puentes (como, por ejemplo, en la solución de ocho letras, aproximadamente mencionado anteriormente), tal viaje es posible. Si la suma es mayor que este número, es imposible.
¿Qué pasa con un número par de puentes? En este caso, todo depende de por dónde empezar. Si comienza en la Sección A y viaja a través de dos puentes, A aparece dos veces en su solución. Si comienza por el otro lado, A aparecerá solo una vez. Si hay cuatro puentes, entonces A aparece tres veces si esta sección fue el punto de partida, o dos veces si no lo fue. En términos generales, esto significa que si el viaje no parte del tramo A, se debe cruzar el doble de veces el número de puentes (cuatro divididos entre dos dan dos). Si el viaje comienza en la sección A, debe cruzarse una vez más.
La genialidad de la solución de Euler no reside ni siquiera en la respuesta, sino en el método que aplicó. Fue uno de los primeros casos de uso de la teoría de grafos, también conocida como teoría de redes, un campo de las matemáticas muy solicitado en el mundo actual lleno de transporte, redes sociales y electrónicas. En cuanto a Königsberg, la ciudad terminó con otro puente, lo que hizo que la decisión de Euler fuera controvertida, y luego las fuerzas británicas destruyeron la mayor parte de la ciudad durante la Segunda Guerra Mundial. Hoy tanto la ciudad como el río tienen nuevos nombres, pero el viejo problema vive en un campo completamente nuevo de las matemáticas.
Igor Abramov
