Otro lote de paradojas y experimentos mentales
Esta colección te llevará mucho menos tiempo leer que reflexionar sobre las paradojas que se presentan en ella. Algunos de los problemas son contradictorios solo a primera vista, otros, incluso después de cientos de años de intenso trabajo mental sobre ellos por parte de los más grandes matemáticos, filósofos y economistas, parecen insolubles. Quién sabe, tal vez seas tú quien pueda formular una solución a uno de estos problemas, que se convertirá, como dicen, en un libro de texto y se incluirá en todos los libros de texto.
1. La paradoja del valor
norte
El fenómeno, también conocido como la paradoja del diamante y el agua o la paradoja de Smith (que lleva el nombre de Adam Smith, el economista clásico que se cree que fue el primero en formular esta paradoja), es que si bien el agua como recurso es mucho más útil que las piezas de cristal carbono, que llamamos diamantes, el precio de este último en el mercado internacional es incomparablemente más alto que el costo del agua.
Adam Smith
Desde el punto de vista de la supervivencia, la humanidad realmente necesita agua mucho más que diamantes, pero sus reservas, por supuesto, son más que las de diamantes, por lo que los expertos dicen que no hay nada extraño en la diferencia de precio; después de todo, estamos hablando del costo por unidad de cada recurso, y está determinado en gran medida por esto. un factor como la utilidad marginal.
Con un acto continuo de consumo de un recurso, su utilidad marginal y, como resultado, el costo cae inevitablemente: este patrón fue descubierto en el siglo XIX por el economista prusiano Hermann Heinrich Gossen. En términos simples, si a una persona se le ofrecen constantemente tres vasos de agua, beberá el primero, lavará el agua del segundo y el tercero irá al suelo.
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La mayoría de la humanidad no experimenta una necesidad aguda de agua; para obtener suficiente, solo tiene que abrir el grifo, pero no todos tienen diamantes, por lo que son tan caros.
2. La paradoja del abuelo asesinado
Esta paradoja fue sugerida en 1943 por el escritor de ciencia ficción francés Rene Barzhavel en su libro The Careless Traveller (original Le Voyageur Imprudent).
Rene Barzhavel
Supongamos que logras inventar una máquina del tiempo y vas al pasado con ella. ¿Qué pasa si te encuentras con tu abuelo allí y lo matas antes de que conociera a tu abuela? Probablemente, no a todos les gustará este escenario sanguinario, así que, digamos, evitas el encuentro de otra manera, por ejemplo, llévalo al otro extremo del mundo, donde nunca sabrá de su existencia, la paradoja no desaparece de esto.
Si la reunión no se lleva a cabo, tu madre o tu padre no nacerán, no podrán concebirte, y en consecuencia no inventarás una máquina del tiempo y retrocederás en el tiempo, así el abuelo podrá casarse con la abuela sin trabas, tendrán uno de tus padres, etc. - la paradoja es obvia.
Los científicos suelen citar la historia del abuelo asesinado en el pasado como prueba de la imposibilidad fundamental de viajar en el tiempo, pero algunos expertos dicen que, en determinadas condiciones, la paradoja es bastante solucionable. Por ejemplo, al matar a su abuelo, el viajero del tiempo creará una versión alternativa de la realidad en la que nunca nacerá.
Además, muchos sugieren que incluso habiendo caído en el pasado, una persona no podrá influir en él, ya que esto conducirá a un cambio en el futuro, del cual forma parte. Por ejemplo, un intento de asesinar a un abuelo está deliberadamente condenado al fracaso; después de todo, si el nieto existe, entonces su abuelo, de una forma u otra, sobrevivió al intento de asesinato.
3. Envía a Teseo
El nombre de la paradoja fue dado por uno de los mitos griegos que describen las hazañas del legendario Teseo, uno de los reyes atenienses. Según la leyenda, los atenienses conservaron el barco en el que Teseo regresó a Atenas desde la isla de Creta durante varios cientos de años. Por supuesto, el barco se deterioró gradualmente y los carpinteros reemplazaron las tablas podridas por otras nuevas, como resultado de lo cual no quedó ni un trozo de madera vieja. Las mejores mentes del mundo, incluidos filósofos prominentes como Thomas Hobbes y John Locke, han reflexionado durante siglos si se podría considerar que Teseo estuvo en este barco.
Por lo tanto, la esencia de la paradoja es la siguiente: si reemplaza todas las partes del objeto por otras nuevas, ¿puede ser el mismo objeto? Además, surge la pregunta: si ensambla exactamente el mismo objeto a partir de las piezas antiguas, ¿cuál de los dos será "el mismo"? Representantes de diferentes escuelas filosóficas dieron respuestas directamente opuestas a estas preguntas, pero aún existen algunas contradicciones en las posibles soluciones a la paradoja de Teseo.
Por cierto, si consideramos que las células de nuestro cuerpo se renuevan casi por completo cada siete años, ¿podemos asumir que en el espejo vemos a la misma persona que hace siete años?
4. La paradoja de Galileo
El fenómeno descubierto por Galileo Galilei demuestra las propiedades contradictorias de los conjuntos infinitos. Una breve formulación de la paradoja es la siguiente: hay tantos números naturales como cuadrados, es decir, el número de elementos de un conjunto infinito 1, 2, 3, 4 … es igual al número de elementos de un conjunto infinito 1, 4, 9, 16 …
A primera vista, no hay contradicción aquí, pero el mismo Galileo en su obra "Dos ciencias" afirma: algunos números son cuadrados exactos (es decir, se puede extraer una raíz cuadrada completa de ellos), mientras que otros no son, por tanto, cuadrados exactos junto con números ordinarios. debe haber más de un cuadrado exacto. Mientras tanto, anteriormente en "Ciencias" hay un postulado de que hay tantos cuadrados de números naturales como números naturales en sí mismos, y estas dos declaraciones son directamente opuestas entre sí.
El propio Galileo creía que la paradoja solo se puede resolver en relación con conjuntos finitos, pero Georg Cantor, uno de los matemáticos alemanes del siglo XIX, desarrolló su teoría de conjuntos, según la cual el segundo postulado de Galileo (aproximadamente el mismo número de elementos) también es válido para conjuntos infinitos. Para ello, Cantor introdujo el concepto de cardinalidad, que coincidió en los cálculos para ambos conjuntos infinitos.
5. La paradoja de la frugalidad
La formulación más famosa de un curioso fenómeno económico descrito por Waddill Ketchings y William Foster es: "Cuanto más ahorremos para un día lluvioso, antes llegará". Para comprender la esencia de la contradicción contenida en este fenómeno, un poco de teoría económica.
William Foster
Si durante una recesión económica una gran parte de la población comienza a ahorrar sus ahorros, la demanda agregada de bienes disminuye, lo que a su vez conduce a una disminución de los ingresos y, como consecuencia, a una caída del nivel general de ahorro y una reducción del ahorro. En pocas palabras, existe una especie de círculo vicioso en el que los consumidores gastan menos dinero y, por lo tanto, empeoran su bienestar.
De alguna manera, la paradoja de la frugalidad es similar al problema en la teoría de juegos llamado dilema del prisionero: las acciones que son beneficiosas para cada participante en una situación individualmente son dañinas para ellos en su conjunto.
6. La paradoja de Pinocho
norte
Este es un subconjunto del problema filosófico conocido como la paradoja del mentiroso. Esta paradoja es simple en forma, pero de ningún modo en contenido. Puede expresarse en tres palabras: "Esta declaración es una mentira", o incluso en dos palabras: "Estoy mintiendo". En la versión con Pinocho, el problema se formula de la siguiente manera: "Ahora me está creciendo la nariz".
Creo que entiendes la contradicción contenida en esta declaración, pero por si acaso, salpiquemos todo: si la frase es correcta, significa que la nariz realmente está creciendo, pero esto significa que en este momento la creación del Papa Carlo está mintiendo, lo cual no puede ser así. como ya hemos descubierto que la afirmación es verdadera. Esto significa que la nariz no debería crecer, pero si esto no es cierto, la afirmación sigue siendo cierta, y esto a su vez indica que Pinocho está mintiendo … Y así sucesivamente, la cadena de causas y efectos mutuamente excluyentes puede continuar indefinidamente.
La paradoja del mentiroso muestra la contradicción entre el enunciado en el habla coloquial y la lógica formal. Desde el punto de vista de la lógica clásica, el problema es insoluble, por lo que la afirmación "estoy mintiendo" no se considera lógica en absoluto.
7. La paradoja de Russell
La paradoja, que su descubridor, el famoso filósofo y matemático británico Bertrand Russell, no llamó más que la paradoja del barbero, estrictamente hablando, puede considerarse una de las formas de la paradoja del mentiroso.
Supongamos que, al pasar frente a una peluquería, ve un anuncio: “¿Te afeitas? Si no, ¡puedes afeitarte! ¡Afeito a todo el que no se afeita a sí mismo, y a nadie más! " Es natural hacer la pregunta: ¿cómo maneja un barbero su propia barba si afeita solo a aquellos que no se afeitan solos? Si él mismo no se afeita la barba, esto contradice su jactanciosa afirmación: "Yo afeito a todos los que no se afeitan".
Por supuesto, es más fácil suponer que el barbero de mente estrecha simplemente no pensó en la contradicción contenida en su letrero y se olvidó de este problema, pero tratar de comprender su esencia es mucho más interesante, aunque esto requerirá una breve inmersión en la teoría matemática de conjuntos.
La paradoja de Russell se ve así: “Sea K el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como un elemento propio. ¿K se contiene a sí mismo como su propio elemento? En caso afirmativo, esto refuta la afirmación de que los conjuntos en su composición "no se contienen a sí mismos como un elemento propio", de lo contrario, existe una contradicción con el hecho de que K es el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como un elemento propio, y por lo tanto K debe contener todos los elementos posibles, incluido usted mismo ".
El problema surge debido al hecho de que Russell en su razonamiento utilizó el concepto de "el conjunto de todos los conjuntos", que en sí mismo es bastante contradictorio, y se guió por las leyes de la lógica clásica, que no son aplicables en todos los casos (ver párrafo seis).
El descubrimiento de la paradoja del barbero provocó acalorados debates en varios círculos científicos, que no han disminuido hasta el día de hoy. Para "salvar" la teoría de conjuntos, los matemáticos han desarrollado varios sistemas de axiomas, pero no hay evidencia de la consistencia de estos sistemas y, según algunos científicos, no puede haberlos.
8. La paradoja del cumpleaños
El meollo del problema es este: si hay un grupo de 23 o más personas, la probabilidad de que dos de ellos tengan el mismo cumpleaños (día y mes) es superior al 50%. Para grupos de 60 personas, la probabilidad es superior al 99%, pero alcanza el 100% sólo si hay al menos 367 personas en el grupo (teniendo en cuenta los años bisiestos). Esto se evidencia en el principio de Dirichlet, que lleva el nombre de su descubridor, el matemático alemán Peter Gustav Dirichlet.
Peter Gustav Dirichl
Estrictamente hablando, desde un punto de vista científico, esta afirmación no contradice la lógica y por tanto no es una paradoja, pero demuestra perfectamente la diferencia entre los resultados de un enfoque intuitivo y los cálculos matemáticos, porque a primera vista, para un grupo tan pequeño, la probabilidad de coincidencia parece muy sobreestimada.
Si consideramos a cada miembro del grupo individualmente, estimando la probabilidad de que su cumpleaños coincida con el de otra persona, para cada persona la probabilidad es de aproximadamente 0,27%, por lo que la probabilidad total para todos los miembros del grupo debería ser de aproximadamente 6,3% (23 / 365). Pero esto es fundamentalmente incorrecto, porque el número de opciones posibles para elegir ciertos pares de 23 personas es mucho mayor que el número de sus miembros y es (23 * 22) / 2 = 253, según la fórmula para calcular el llamado número de combinaciones de un conjunto dado. No profundizaremos en la combinatoria, puede comprobar la exactitud de estos cálculos a su gusto.
Para 253 variantes de parejas, la probabilidad de que el mes y la fecha de nacimiento de los participantes de una de ellas sea el mismo, como probablemente adivinó, es mucho más del 6,3%.
9. El problema del huevo y la gallina
Seguramente, a cada uno de ustedes al menos una vez en su vida se les hizo la pregunta: "¿Qué apareció primero, una gallina o un huevo?" Los experimentados en zoología conocen la respuesta: las aves nacieron de los huevos mucho antes de la aparición del orden de las gallinas entre ellas. Vale la pena señalar que en la formulación clásica se trata solo de un pájaro y un huevo, pero también permite una solución fácil: después de todo, por ejemplo, los dinosaurios aparecieron antes que las aves y también se multiplicaron poniendo huevos.
Teniendo en cuenta todas estas sutilezas, el problema se puede formular de la siguiente manera: lo que apareció antes: el primer animal que pone huevos, o su propio huevo, porque un representante de una nueva especie tuvo que nacer de algún lugar.
El principal problema es establecer una relación causal entre los fenómenos de volumen difuso. Para una comprensión más completa de esto, consulte los Principios de la lógica difusa: generalizaciones de la lógica clásica y la teoría de conjuntos.
En pocas palabras, el hecho es que los animales en el curso de la evolución han pasado por innumerables etapas intermedias; esto también se aplica a los métodos de reproducción. En diferentes etapas evolutivas, pusieron diferentes objetos que no pueden identificarse inequívocamente como huevos, pero tienen algunas similitudes con ellos.
Probablemente, no existe una solución objetiva a este problema, aunque, por ejemplo, el filósofo británico Herbert Spencer propuso esta opción: "Una gallina es solo una forma en que un huevo produce otro huevo".
10. Desaparición celular
A diferencia de la mayoría de las otras paradojas de la colección, este "problema" lúdico no contiene contradicciones, sino que sirve para entrenar la observación y te hace recordar las leyes básicas de la geometría.
Si está familiarizado con tales tareas, puede omitir la visualización del video, ya que contiene su solución. Sugerimos a todos los demás que no suban, como dicen, "hasta el final del libro de texto", sino que piensen en ello: las áreas de las figuras multicolores son absolutamente iguales, pero cuando se reorganizan, una de las celdas "desaparece" (o se vuelve "innecesaria", dependiendo de qué variante de la posición de las figuras considerado como inicial). ¿Cómo puede ser esto?
Pista: inicialmente hay un pequeño truco en el problema, que asegura su "paradójica", y si logras encontrarlo, todo caerá inmediatamente en su lugar, aunque la celda seguirá "desapareciendo".
